하늘을 우러러 보는 동네

2장 수학을 잘 하려면

* 수학을 지탱하는 두 기둥은 바로 논리와 창의력이다. 그 기둥이 굳건하게 자리를 잡는다면 더 이상 수학에 대해 우려할 필요가 없어진다.  따라서 수학을 잘 하게 하려면 아이들의 창의력을 인정하고, 수학을 공부하는 ‘이유’를 제대로 알려 주는 교육이 반드시 실행되어야 한다.<이 점이 어렵다. 아이들에게 제대로 알려 주는 것이 말이다. 어떻게 해야 할 것인가? 계속 주목하여 읽어본다.>

*수학이란

-수학은 만국어이다. 각국의 수학 이론 사이에는 별 차이가 없다. 교육을 받는 사람은 누구나 수학은 배운다. 그러나 수학은 그리 녹록한 학문이 아니다. 도대체 실생활에 무슨 보탬이 된다고 이 어려운 공부를 해야 하는가?

-수학이란 도대체 무엇인가?

-수학은 추상명사인 약속에서 출발하여 이를 활용하기 위해 정리나 성질과 같은 방법을 발견하는 학문이다.

-수학은 추상적으로 약속된 것과 이전에 학습한 내용을 활용하기 위해 정리를 만들어 내며, 이렇게 만들어진 정리들은 정당성을 확보받기 위해 증명되어야 한다.

-이처럼 추상적인 사고 과정을 중시하는 수학이 학생들에게 어렵게 느껴지는 것은 당연한 일이다.

그렇다면 그렇게 어려운 수학을 기를 쓰고 가르치려 드는 이유는 무엇일까?

-수학은 매우 유용한 학문이다.

① 수학은 우리 일상 생활에서 아주 긴요하게 쓰이고 있다.

우리나라의 경우, 고대 수학은 삼국시대부터 실용적으로 기능하며 서민들의 삶을 풍요롭게 만들어 주었다. 토지측량, 조세, 부역, 물물 교환, 소득 지출, 토목 공사, 공예 제작 같은 다양한 분야에서 수학은 기본적인 요소였다.

-200년 전 미국에서는 선장이나 측량 기사, 목사가 되려는 대학생들이 대학에서 필수 과목으로 삼각술, 기하, 대수를 배웠다고 한다. 정밀한 작업을 요하는 기술에서부터 형이상학적인 철학까지 수학 없이는 이루어질수 없거나 초라하고 빈곤해지는 분야가 생각보다 많다.

② 수학은 또한 기초 학문으로서 유용성을 지닌다.

예를 들어 삼각형의 넓이를 계산하려면 먼저 직사각형의 넓이를 계산하는 방법을 알고 있어야 하듯이, 수학에서 배운 내용들은 더 차원 높은 공부를 할 때 반드시 필요한 배경 지식이 된다.

과학 기술, 특히 컴퓨터 및 전자 미디어의 발달로 사회가 급격하게 변화하면서 수학이 일상 생활에서 더욱더 멀어진 것 같다. 변화의 속도가 너무 빠르다. 그러나 수학이 예로부터 지금껏 지녀 온 본질은 변하지 않으리라 믿는다.

③ 수학은 정신적인 훈련을 통해 지적인 활동을 강화시켜 주기도 한다.

사실상 수학 교육의 기본 목표는 건전한 논리인을 양성하는 데 있다. 특히 초․중․고교 과정 수학 교과의 목표는 학생들에게 합리적으로 문제를 해결할 수 있는 수학적 능력과 태도를 기르게 하고, 사물의 현상을 논리적으로 사고할 수 있는 능력을 높여 줌으로써 문제를 해결할 때 창의성을 발휘하도록 도와주는 것이다.

“수학은 단순히 실용적인 수단만 되는 것이 아니다. 그리스의 학교에서 그랬듯이 수학은 마음의 훈련을 강화시킴으로써 높은 수준의 지적 활동 단계에 이르도록 교육하는 데서 그 의의를 찾아야 한다. 그 중요한 부분의 수학에서 강조되는, 논리적 추론 방법이다. 학교 수학에서는 전문적인 수학인보다 합리적인 사고를 가진 사람이 되기를 강조해야 한다.”

④ 수학은 무엇보다 아름다운 학문이다.

하디(예술가, 수학자), [수학자의 변명](1940)

“수학자들이 만들어낸 방식은 화가나 시인들이 창조한 작품처럼 아름답다. 시인들이 단어를 이용하여 아름다운 시를 짓는 것이나 화가들이 색채를 이용하여 뛰어난 작품을 탄생시키는 것처럼, 수학자들은 수학적인 아이디어를 잘 조화시켜 아름다운 작품을 창조해 낸다.”

“수학은 추상회된 아이디어들의 아름다움이고, 수학적 증명은 예술이다.”(버팅거)

-실제로 우리는 수학의 아름다움을 우리를 둘러싸고 있는 세계 도처에서 발견할 수 있다.

벌집의 육각 기둥, 광석의 결정 구조- 기하 공부 제재

‘황금 분활비’-수학의 아름다움을 보여주는 대표적인 예다.

*수학이 품고 있는 의미는 이렇듯 다양하고 깊은 것이다. 찬찬히 살펴보면 일상에서 예술의 경지까지 곳곳에 스며들어 있는 학문이 바로 수학이다.

그래서 수학은 하면 할수록 골치가 아프고 지겨운 것이 아니라 오히려 가시덤불 안에 감춰진 보물을 찾아내는 기쁨처럼 경이로운 매력을 지니고 있다. 그 보물은 질서 없이 흩어져 있는 것이 아니라 하나의 통로만 제대로 찾아내면 연달아 눈에 들어올만한 자리에 어김없이 얌전히 놓여 있다.

-학생들에게 수학을 가르치는 까닭은 바로 그 보물을 함께 찾고 싶어서이다. 그것도 화창한 봄날 소풍을 가듯이 즐겁고 유쾌하게.

* 생각할 기회를 안 주는 수학 수업

49쪽 학생들이 수학을 포기하는 이유는 단순히 수학이라는 과목이 갑자기 어려워지기 때문이 아니다. 단순 계산만 반복하다 보니 생각하는 힘을 기르지 못하게 된다는 것이 가장 중요한 요인으로 작용한다.

-중학교 2학년에 이르면 수학은 자연스레 증명과 같은 논리적인 내용으로 단계를 옮겨 간다. 그런데 그동안 ‘왜 그렇게 되었는가?’에 대해 생각해 본 적이 없는 학생들은 그런 문제들 앞에서 절벽을 만난 듯 아득해질 수 밖에 없다.

-잘못 가르쳐온 방식의 문제가 있다. 계산과 달리 논리를 필요로 하는 증명 문제는 반복 학습으로는 결코 해결할 수가 없다.

-그런데 생각하는 힘을 주지 못하는 환경을 자세히 관찰하다 보면 그 뿌리가 자못 깊고 복잡하게 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다. 단순히 수학 수업이나 수학 교육 방식에만 잘못이 있는 게 아니라 우리 사회의 전반적인 현상과 밀접하게 관련을 맺고 있다.

-먼저 가정 붕괴 비율이 높아지면서 가정과 학교에서 소외된 아이들이 사이버 세계에 중독되다시피 방치되고 있는 현실을 들 수 있다. 1/5 마우스만 클릭하면 바로바로 펼쳐지는 현란한 사이버 세계에 흠뻑 빠진 아이들이 수학처럼 차분하게 생각을 요구하는 과목에 흥미를 느낄 리 만무다. 그렇다고 해서 이미 전 세계적인 시대 흐름으로 부상한 컴퓨터 세상을 무조건 만나지 못하게 할 수도 없는 노릇이다. 다만 그것이 낳을 수 있는 다양한 부작용에 대한 예방책을 강구하고 이에 대한 효과적인 지도를 수행하기 위해 노력을 기울여야 할 것이다.

-둘째, 사회 환경이 한꺼번에 여러 가지 일을  처리하는데 익숙해지도록 부추기는 현상이다. 아이들은 눈으로는 각종 모니터를 보고, 입으로는 패스트푸드를 먹고, 귀로는 음악을 들으면서 공부하는 일을 아무렇지 않게 여긴다. 하지만 그런 방식이 시간을 절약해 줄지는 모르겠지만, 온통 말초 신경을 자극하는 환경 속에서 집중력을 발휘하기란 거의 불가능하다. 수학을 비롯한 ‘생각하는 공부’를 제대로 해내기는 더 더욱 어려워진다.

-셋째, ‘생각하는 공부’를 하지 못하는 가장 직접적인 원인 가운데 하나는 바로 우리의 시험 제도가 오랫동안 객관식을 고수해 온 데 있다. 1960년 이후 40년 넘게 지배.

과목에 따라 객관식이 효과적일 수 있으나, 생각하는 과정이 결과보다 중시되어야 하는 수학 교과는 문제다.

-넷째, 아이들을 너무 바쁘게, 너무 부담스럽게 만드는 현실이 문제다.

-다섯째, 성적 중독증에 걸린 부모의 욕심-능동적으로 공부하고 자발적으로 수업에 참가하지 않는다. 지금 부모들은 객관식 평가 방법이 주를 이루었던 시험 제도 아래서 제대로 ‘생각하는 수학’을 해볼 기회를 갖지 못한 세대이다. 부모는 똑같은 전철을 자녀에게 밟지 않게 해야 한다. 부모 스스로 옛날 방식으로는 더 이상 수학을 배울 수도 가르칠 수도 없다는 인식을 확고히 해야 한다.

수학적인 개념도 모르는 사람들이 만들어내는 문제집, 남발하는 수학경시대회,

-훌륭한 교과서라고 제대로 된 수학 교육을 보장하지는 않는다. 무엇보다 직접 학생들을 대하는 교사와 부모, 그리고 참고서 자체가 변해야 한다.

-수학이 의미있는 배움이 되고, 수학적인 개념이 바르게 형성되도록 하기 위해 아이들의 ‘생각’과 수학적 ‘활동’에 중점을 두어야 한다. 어떻게 하면 재미있게, 아이들의 논리력과 창의적인 사고력을 길러줄까?

* 초4, 중2, 고1, 고2 공식

-수학 포기가 점점 더해진다.

-문제 : 주입식 교육, 암기식 교육, 고교 평준화-하향 평준화?????

 원인이 무엇이든지 우리 학생들의 제 능력을 마음껏 발휘할 수 없는 환경에 처해 있다는 것이 문제다. 교육시스템에서 비롯되는 환경 탓이라면 하루 빨리 환경을 변화시킬 방법을 모색해야 한다.

-기초 학문으로서 토대가 가장 튼튼해야 할 수학이 이렇듯 속수무책으로 무너지는 상황에서는 교육의 앞날이 암담하다.

-끊이지 않는 경쟁과 어려운 경제 사정, 게다가 수시로 바뀌는 교육 정책은 일선에서 교육을 담당하는 이들에게서마저 버틸 힘을 빼앗는 지경에 이른다.

-그래도 동트기 직전이 가장 어둡다는 진리를 따라, 다른 분야는 차치하고라도 수학만은 더 이상  나빠질 수 없는 상황에 몰렸다는 인식이 오히려 희망을 기대하게끔 만든다.

-우선은 철저하게 반성부터 해야 한다.  그러면 ‘어린이 한 명을 잘 교육시켜 놓으면 국민 100만명을 먹여 살린다’라는 명제를 실현시킬 첫 단추가 될 것이다.

* 한없이 푸는 문제가 ‘문제’다

아이들이 수학에서 멀어지는 더 큰 요인은 수학보다 ‘문제’를 먼저 만나고, 그 ‘문제’에서 헤어 나오지 못한다는 데 있다.

계속 반복되는 계산 문제는 부모를 만족시킬지는 몰라도 아이들에게는 치명적이라는 사실을 우리는 너무나 오랫동안 간과해 왔다. 하지만 머리가 좋은 아이일수록, 수학적 재능이 뛰어난 아이일수록 그와 같은 의미 없는 계산 문제에 금방 싫증을 낸다는 사실을 알아야 한다.계산이 수학 교육에서 필수적인 기초 기능인 것만은 사실이다. 그러나 계산을 잘한다고 해서 반드시 수학을 잘 한다고는 할 수 없다.

-논리적으로 생각하거나 창의적으로 문제를 해결하는 훈련을 받기보다는, 원리도 모른 채 외운 공식을 그저 기계적으로 적용하는 문제 풀이만 끝없이 되풀이해 왔다.

-사칙 연산 외의 다른 내용들이 많이 나오는 4학년에 이르러 수학에 흥미를 잃는 아이들이 많아지는 것을 생각해 보라. 교과 내용이 어려워져서 아이들의 흥미를 잃는다는 것은 말이 안되는 소리다. 아이들의 지능은 예전과는 달리 많이 높아졌다. 결국 재미가 없을 때 아이들은 다른 곳으로 눈을 돌리게 된다. 재미를 발견할 요소가 있다면 제 아무리 어려운 내용이라도 다 소화할 수 있는 능력을 우리 아이들은 갖추고 있다.

-단적으로 아이들이 즐기는 컴퓨터 오락만 보더라도 확인할 수 있다. 어른들로서는 도무지 이해할 수 없는 고도의 두뇌 게임도 아이들은 식은 죽 먹듯 해치우고 있지 않은가?

하물며 논리와 창의가 근간을 이루는 과목이 수학인데, 그동안 우리 교육은 전자 오락이 제공하는 단계와 순서만큼의 흥미도 제공하지 않았던 게 사실이다.

-아이들이 원하는 것은 자신이 가진 역량을 총동원하여 변화무쌍하고 예측 불가능한 풀레이 상황에 대처할 수 있는 게임인데, 그동안 우리 수학 교육이 한 일이라고는 단순한 벽돌깨기 식의 게임만 되풀이 시킨 것이다.

-새롭고 독창적인 방법을 모색해야 한다.

1장 지금 우리 수학은

“넌 수학 박사구나!”

-배교수님의 어린 시절의 일화를 들어서 수학에 대한 긍정적인 생각이 얼마나 중요한가를

잘 말씀해 주셨다.

다시 만난 수학

-교육대학은 졸업하고 초등교사로 근무하다. 농과대학 임학과 교수가 되고 싶어서 퇴직하고

알바로 수학강사를 하기 위해 수학교사 자격증을 어렵게 따고서

그 과정에서 다시 수학에 대해 전념하기로 하고 다시 대학교의 수학과로 진학하게 된다.

드디어 1976년에 수학교육과 교수가 되기로 결심하게 된다.

30쪽" 매 시간 수학을 배우는 학생들에게 끊임없이 묻기 위해서, 그리고 언젠가 수학을

가르치게 될  미래의 선생님들에게 끊임없이 묻게 하기 위해서."

수학 교수와 나눗셈

-1984년 서울교육대하교 수학교육과 교수가 된다.

그러나 시대적인 아픔 속에서 좌절을 하기도 하지만 아이들 가르치는 일에 오히려

더 열중하다.

-34쪽 1990년대 서울 지역 교사 14,000명에게 수학 교육에 대한 설문을 하여

[수학 교육 개선을 위한 기초적인 조사 연구] 논문 발표

그 뒤 서울교대부속초등학교에서 1년 동안 4학년 수학 시간을 담당. 수학교육연구소를

설립하여  지속적으로 현장에서 학생들을 만나는 일 모두가 내가 찾아 들어간 호랑이

굴이었다.

-35쪽 아이들이 자발적으로 공부를 하도록 배려하기보다는  규칙을 어겼을 때 엄격히 벌을

주는 방식이었다. 하지만 그처럼 엄격한 방식은 학습 능력에 아무 보탬이 되지 않는 것 같았다.

-이런 경험을 통해 나는 다시 한번 수업은 즐거워야 한다는 사실을 깨닫게 되었다. 이후 내가

아이들 앞에서 삐에로 옷을 입고 공연하듯, 놀이하듯 수학을 가르치게 된 것은 미국에서의

교환교수 시절의 경험과 무관하지 않다.

-36쪽 문제점 발견; 우선 , 수학 교육을 강의하는 교수로서 내 자신에게조차 많은 문제점이

있었다는 사실을 인정하지 않을 수 없었다.

-가장 큰 문제점은 초보적인 것일지라도 개념 하나하나를 제대로 파악하지 못한 채 스쳐온 것들이

많다는 점이다.

내가 나눗셈을 완벽하게 이해한 때는 1995년 무렵의 어느 날이었다.

-내가 인식한 수많은 문제점들은 당장은 암담하여도 언젠가의 희망, 그 불씨이기도 했다.

초4, 중2, 고1, 고2 공식

한없이 푸는 문제가 ‘문제’다

생각할 기회를 안 주는 수학 수업

다음의 책을 읽어봅시다. 수학에 대해서 생각해 봅니다.

삐에로 교수 배종수의 생명을 살리는 수학

(배종수, 2002, 김영사)

암기식의 딱딱한 수학 교육이 아니라 어린이들의 놀이처럼 생생하게 살아 숨쉬는 활기찬 수학 교육이다. 그와 같은 토대 위에서 즐거운 수학을 완성하기 위해 필수적으로 갖춰야 할 기초적인 네 가지 조건은 다음과 같다.

1. 활동수학이었다.-수학이 즐겁기 위해서는 활동이 앞서야한다. 교사는 수학이라는 대상을 장난감 삼아 만지고 주무르고 변형시키는 활발한 활동이 펼쳐져야 한다. 그렇게 하면 학생들은 그 활동을 통해 수학의 원리와 개념을 완벽하게 이해할 수 있게 된다.

2. 학생들에게 생각의 힘을 길러주어야 한다.

다양하게 창의적으로 수학의 정체를 파악할 수 있도록 생각하는 시간을 제공해 줘야 한다. 생각을 하기 시작하면 아이들은 시간이 갈수록 수학을 포기하는 게 아니라 갈수록 재미와 성적을 함께 끌어올릴 수 있는 능력을 갖추게 된다.

3. 계산 기능을 높여주어야 한다.

지나치면 문제가 되지만 기초 기능으로서의 계산 능력을 높여 주면 수학은 훨씬 쉬워진다.

4. 문제 해결 능력을 갖추게 해야 한다.

가르치는 이는 학생들이 문제 해결 능력을 단계별로 질서 있게 차곡차곡 성취해 나갈 수 있도록 도와주는 역할을 수행해야 한다.

(프롤로그 8-10쪽)

1장 지금 우리 수학은

“넌 수학 박사구나!”

다시 만난 수학

수학 교수와 나눗셈

초4, 중2, 고1, 고2 공식

한없이 푸는 문제가 ‘문제’다

생각할 기회를 안 주는 수학 수업

2장 수학을 잘 하려면

수학이란

수학은 계통 학습이다.

왜 3÷½=6인가?

논리와 창의력이 빠진 수학은 수학이 아니다.

13-9=4를 계산하는 6가지 방법

계산하는 시간을 줄이고 생각하는 시간을 늘여라.

왜 그렇게 생각하십니까?

질서 있게 생각하라

선수 학습을 예습으로 생각하지 마라

학부모와 함께 하는 수학

3장 활동 수학

어떻게 가르칠 것인가

피에로와 팬터마임

모형으로 익히는 자연수 개념

노트 대신 스케치북

집에서 찾는 수학 도구

계산 능력 높이기

수학은 운동장에서

반올림과 반버림

4장 수학이 즐거운 세상 만들기

이제 수학 교육은 삶의 문제다.

볍씨, 양식으로 볼 것인가, 씨앗으로 볼 것인가

“마샤, 뭐가 보이니?”

나누는 아름다움

셋째 왕자의 꽃씨

“그 원을 밟지 마라!”